Ο Ελλειψογράφος του Αρχιμήδη
Ο Ελλειψογράφος του Αρχιμήδη (Trammel of Archimedes) είναι μια συσκευή που σχεδιάζει ελλείψεις (όπως ακριβώς ένας διαβήτης σχεδιάζει κύκλους). Αποτελείται από δύο "οδηγούς" η κίνηση των οποίων έχει περιοριστεί σε δύο κάθετες τροχιές και μια ράβδο η οποία συνδέεται στα κέντρα των δύο οδηγών. Η τοποθέτηση της ράβδου γίνεται έτσι ώστε το ένα άκρο της ράβδου να είναι συνδεδεμένο με τον ένα οδηγό. Στο δεύτερο άκρο της ράβδου επισυνάπτεται ένα μολύβι ή κάποια γραφίδα. Καθώς μετακινούμε τη γραφίδα, οι οδηγοί κινούνται πάνω στις σταθερές κάθετες τροχιές έτσι ώστε η μεταξύ τους απόσταση να είναι πάντα σταθερή. Έτσι η γραφίδα σχεδιάζει μια έλλειψη, τα χαρακτηριστικά της οποίας εξαρτώνται από το συνολικό μήκος της ράβδου και την σταθερή απόσταση των δύο οδηγών. Πιστεύεται ότι ο μηχανισμός σχεδιάστηκε από τον Αρχιμήδη τον 3ο αιώνα π.Χ. Σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσουμε να μελετήσουμε τον τρόπο λειτουργίας μιας τέτοιας συσκευής δίνοντας τις βασικές ιδιότητες χρησιμοποιώντας απλά μαθηματικά. Το άρθρο μπορεί να διαβαστεί από μαθητές Λυκείου (Γ΄ τάξης) και βέβαια πρωτοετείς φοιτητές ΕΑΠ, ΑΕΙ, ΤΕΙ.
Κατασκευή Έλλειψης
Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι η εν λόγω συσκευή σχεδιάζει ελλείψεις. Ας υποθέσουμε ότι οι δύο οδηγοί κινούνται πάνω στους άξονες xx' και yy' όπως στο σχήμα. Συγκεκριμένα, θεωρούμε ότι ο οδηγός Α κινείται πάνω στον άξονα yy' και ο οδηγός Β πάνω στον άξονα xx'. Η απόσταση μεταξύ των δύο οδηγών ΑΒ είναι σταθερή και ίση με l, ενώ η απόσταση μεταξύ του οδηγού Β και του άκρου της ράβδου
(όπου στερεώνεται η γραφίδα) είναι επίσης σταθερή και ίση με ΒΕ=k. Τέλος, θεωρούμε τη γωνία που σχηματίζει ο άξονας Οx με την ΒΕ κατά την ορθή φορά (δηλαδή καθώς η ημιευθεία Βx περιστρέφεται κατά την ορθή φορά μέχρι να φτάσει στην ΒΕ).
Θα αποδείξουμε ότι καθώς η γωνία θ αλλάζει (λόγω της κίνησης των οδηγών) το σημείο Ε σχεδιάζει έλλειψη. Ας βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Ε σε σχέση με τη γωνία θ, χρησιμοποιώντας τους ορισμούς των τριγωνομετρικών τόξων:
Προσέξτε ότι ανάλογα με τις τιμές της γωνίας θ, οι συντεταγμένες του Ε μπορεί να πάρουν θετικές ή αρνητικές τιμές. Για παράδειγμα αν η γωνία θ είναι μεταξύ 0 και 90 μοιρών, και οι δύο συντεταγμένες είναι θετικές (άρα το Ε θα βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο), ενώ αν η γωνία θ είναι μεταξύ 270 και 360 μοιρών η συντεταγμένη x θα είναι θετική, ενώ h συντεταγμένη y θα είναι αρνητική, όπως φαίνεται στα δύο σχήματα. Οι εξισώσεις που γράψαμε παραπάνω είναι οι κλασσικές παραμετρικές εξισώσεις έλλειψης. Επιπλέον μπορούμε εύκολα να δούμε ότι: Επομένως, αποδείξαμε ότι το σημείο Ε διαγράφει έλλειψη με μεγάλο άξονα ίσο με 2(k+l) και μικρό άξονα ίσο με 2k.
Προσομοίωση σε Geogebra
Μετακινήστε το σημείο Ε για να δείτε πώς δουλεύει ο ελλειψογράφος. Πατώντας το play (κάτω αριστερά) ενεργοποιείται η αυτόματη κίνηση.
Οι μπάρες του Αρχιμήδη και η αστροειδής καμπύλη
Ας θεωρήσουμε το εξής πρόβλημα. Έχουμε τα σημεία Α και Β που κινούνται όπως περιγράψαμε στον ελλειψογράφο, δηλαδή το σημείο Α πάνω στον xx', το σημείο Β πάνω στον yy', έτσι ώστε η απόσταση ΑΒ να είναι σταθερή και ίση με ΑΒ=l. Τότε μπορούμε να αποδείξουμε ότι όλα αυτά τα ευθύγραμμα τμήματα περιέχονται στο εσωτερικό της
αστροειδούς καμπύλης με εξίσωση:
Τα τμήματα αυτά καλούνται "μπάρες" του Αρχιμήδη. Θα περιοριστούμε στο πρώτο τεταρτημόριο (λόγω συμμετρίας η απόδειξη είναι παρόμοια και στα άλλα). Ας θεωρήσουμε ένα σημείο του άξονα xx' με τετμημένη ίση με x_0>0, x_0<l. Θεωρούμε ένα τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα που κατασκευάζεται από τα Α και Β (αν αυτά ακολουθούν την κίνηση που περιγράψαμε) και έστω C το σημείο τομής της ευθείας x=x_0 με το ΑΒ. Από όλα τα σημεία C που κατασκευάζονται με αυτό τον τρόπο θα βρούμε αυτό με την μεγαλύτερη τεταγμένη. Το σημείο αυτό θα το συμβολίζουμε με (x_0, y_M).
Αρχικά, θεωρώντας ένα τυχαίο από αυτά τα ευθύγραμμα τμήματα και το αντίστοιχο σημείο C, θα υπολογίσουμε την τεταγμένη του C ως συνάρτηση της γωνίας θ (όπως την ορίσαμε στην κατασκευή του ελλειψογράφου). Παρατηρώντας ότι έχουμε δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα, μπορούμε εύκολα να πάρουμε τη σχέση:
όπου η γωνία θ πρέπει να είναι τέτοια ώστε να ορίζεται το σημείο C, δηλαδή
Προφανώς, αναζητούμε την γωνία θ, έτσι ώστε να μεγιστοποιείται η συνάρτηση y_C, δηλαδή
Στη συνέχεια υπολογίζουμε την παράγωγο της συνάρτηση y_C
από όπου παίρνουμε το ακρότατο:
Για την παραπάνω σχέση θεωρούμε ότι η γωνία -θ βρίσκεται μεταξύ του -π/2 και του 0 (ισοδύναμα θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι η θ βρίσκεται μεταξύ του 3π/2 και του 2π). Η τιμή αυτή αποτελεί θέση τοπικού μεγίστου όπως μπορούμε να δούμε μελετώντας την μονοτονία της y_C(θ). Η μέγιστη τιμή θα είναι
Όμως, ισχύουν:
Επομένως, μετά από διαδοχικές πράξεις έχουμε:
Από την τελευταία σχέση προκύπτει άμεσα ότι:
Επομένως, για κάθε x_0 το αντίστοιχο y_M, που εκφράζει τη μέγιστη τεταγμένη που μπορεί να παραχθεί από την παραπάνω διαδικασία, αντιστοιχεί σε σημείο το οποίο βρίσκεται πάνω σε αστροειδή καμπύλη.
Η αστροειδής καμπύλη περιγράφει ελλείψεις
Μια άλλη σημαντική ιδιότητα της αστροειδούς καμπύλης είναι ότι περιγράφει το σύνολο των ελλείψεων που έχουν κέντρο το Ο και άθροισμα αξόνων ίσο με 2l. Για να το αποδείξουμε αυτό θα ακολουθήσουμε την παρακάτω διαδικασία. Καταρχάς, θα θεωρήσουμε το σημείο (x_0, y_M) του πρώτου τεταρτημορίου, όπως παράχθηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε κάποια έλλειψη που να διέρχεται από το σημείο αυτό και η εφαπτόμενη ευθεία της έλλειψης στο σημείο αυτό να ταυτίζεται με την αντίστοιχη "μπάρα" που παρήγαγε το σημείο (x_0, y_M). Θα αναζητήσουμε επομένως έλλειψη της μορφής:
η οποία να διέρχεται από το σημείο (x_0, y_M) και να έχει εφαπτόμενη με κλίση ίση με την κλίση της αντίστοιχης μπάρας. Παίρνοντας υπ' όψη την γενική εξίσωση της εφαπτόμενης της έλλειψης σε ένα σημείο (x_0,y_0),
καταλήγουμε στο παρακάτω σύστημα εξισώσεων:
Για την πρώτη εξίσωση έχουμε διαδοχικά
Από την παραπάνω σχέση παίρνοντας ρίζες θα έχουμε:
Αντικαθιστώντας στη δεύτερη σχέση θα έχουμε
Θέτουμε u = (x_0/l)^{2/3} για να απλοποιήσουμε τις πράξεις και παίρνουμε:
Σημειώνουμε ότι η παραπάνω λύση είναι δεκτή, αφού αν λάβουμε υπ' όψη ότι x_0<l τότε α<l. Επομένως, για το b θα ισχύει:
Αποδείξαμε ότι υπάρχει έλλειψη που να εφάπτεται στην συγκεκριμένη μπάρα και μάλιστα για αυτή την έλλειψη έχουμε a+b=l. Προφανώς λόγω συμμετρίας η ίδια έλλειψη θα εφάπτεται σε άλλες τρεις μπάρες. Λόγω της κυρτότητας της έλλειψης αυτό μας εξασφαλίζει ότι όλη η έλλειψη θα βρίσκεται μέσα στην αστροειδή καμπύλη. Επιπλέον, παρατηρούμε ότι μπορούμε να κάνουμε και την αντίστροφη διαδικασία δηλαδή για μια τυχαία έλλειψη με συντελεστές a, b μπορούμε να βρούμε x_0 και y_M που να σχηματίζουν μια αρχιμήδεια μπάρα αν επιλέξουμε
Επομένως αποδείξαμε ότι οι ελλείψεις με κέντρο το Ο και συντελεστές με σταθερό άθροισμα a+b=l περιγράφονται από την αστροειδή
