Η Αστροειδής Καμπύλη
Η αστροειδής είναι μια μαθηματική καμπύλη που ανήκει στην κατηγορία των υποκυκλοειδών. Οι καμπύλες που ανήκουν σε αυτή την κατηγορία δημιουργούνται από το ίχνος του σημείου ενός μικρού κύκλου που "κυλάει" στο εσωτερικό ενός μεγαλύτερου. Στην αστροειδή καμπύλη ο μικρός κύκλος έχει ακτίνα το 1/4 της ακτίνας του μεγάλου κύκλου.
Ι. Μαθηματική Εξίσωση
Η μαθηματική της εξίσωση της αστροειδούς καμπύλης στο σύστημα των καρτεσιανών συντεταγμένων δίνεται από τη σχέση:
όπου α>0 είναι η ακτίνα του μεγάλου κύκλου. Πολύ συχνά οι απόλυτες τιμές παραλείπονται από τις εξισώσεις, επειδή θεωρείται ότι πρώτα υψώνουμε στο τετράγωνο και μετά υπολογίζουμε την κυβική ρίζα. Για να βρούμε τις παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης μπορούμε να ακολουθήσουμε την παρακάτω διαδικασία:
Α) Αρχικά εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό
Στις νέες συντεταγμένες η εξίσωση της στροειδούς γίνεται
Β) Στη συνέχεια εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό σε πολικές συντεταγμένες, δηλαδή
Επιπλέον, παρατηρούμε ότι
Έτσι προκύπτουν οι παρακάτω παραμετρικές εξισώσεις:
ΙΙ. Γεωμετρική Κατασκευή
Παραπάνω δώσαμε τη συνήθη καρτεσιανή εξίσωση της αστροειδούς καμπύλης, χωρίς να εξηγήσουμε πώς αυτή προκύπτει. Σε αυτή την παράγραφο θα δώσουμε τον ακριβή ορισμό της αστροειδούς και θα δείξουμε πως παράγονται οι εξισώσεις της. Δίνουμε το παρακάτω σχήμα:
Σημειώνουμε ότι οι πίνακες που φαίνονται στις παραπάνω εξισώσεις είναι οι πίνακες περιστροφής γύρω από το Ο. Επομένως, καταλήγουμε στις παρακάτω παραμετρικές εξισώσεις:
Σε αυτό το σημείο χρησιμοποιούμε τις τριγωνομετρικές ταυτότητες του τριπλάσιου τόξου:
Οπότε καταλήγουμε στις παραμετρικές εξισώσεις που δώσαμε στην προηγούμενη παράγραφο, δηλαδή
όπου αντικαταστήσαμε το θ με τη μεταβλητή t. Από τις παραπάνω σχέσεις άμεσα προκύπτει ότι
Ας δούμε ένα χαρακτηριστικό animation της παραπάνω κατασκευής με τη βοήθεια του λογισμικού geogebra (πατήστε το κουμπί play κάτω αριστερά):
Ένας άλλος τρόπος κατασκευής μπορεί να γίνει αν ο κύκλος που κυλάει μέσα στον μεγάλο κύκλο έχει ακτίνα ίση με τα 3/4 της ακτίνας του μεγάλου κύκλου. Σε αυτή την περίπτωση για να κατασκευαστεί ολόκληρη η αστροειδής, ο μικρός κύκλος πρέπει να κάνει 3 πλήρεις κυλήσεις μέσα στον μεγάλο κύκλο:
ΙΙΙ. Μήκος Αστροειδούς καμπύλης
Το μήκος της αστροειδούς καμπύλης Γ δίνεται από το αριθμητικό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα κατά μήκος της:
Για να υπολογίσουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα χρειαζόμαστε μια παραμέτρηση της καμπύλης, η οποία όπως είδαμε είναι η:
Επομένως θα έχουμε:
Σε αυτό το σημείο παρατηρούμε ότι η καμπύλη μπορεί να χωριστεί σε τέσσερεις ίσους κλάδους, επομένως μπορούμε να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς βρίσκοντας το μήκος μόνο του κλάδου από 0 μέχρι π/2. Έτσι θα έχουμε:
ΙΙΙ. Εμβαδόν Αστροειδούς καμπύλης
Το εμβαδόν της αστροειδούς καμπύλης δίνεται από το διπλό ολοκλήρωμα
όπου D είναι το χωρίο που περικλείεται από την αστροειδή καμπύλη. Παρατηρούμε ότι παρότι μπορούμε να περιγράψουμε αυτό το χωρίο σε μορφή ενός x-απλού συνόλου, π.χ.
το ολοκλήρωμα που θα προκύψει θα είναι εξαιρετικά δύσκολο να υπολογισθεί. Αντί λοιπόν να ακολουθήσουμε αυτό το δρόμο, θα εφαρμόσουμε το θεώρημα Green. Αν ορίσουμε τη συνάρτηση
τότε παρατηρούμε ότι
Επομένως, από το θεώρημα Green θα έχουμε:
Στα παραπάνω ολοκληρώματα, η καμπύλη Γ είναι η αστροειδής καμπύλη που περιβάλει το σύνολο D. Χρησιμοποιώντας την ίδια παραμέτρηση όπως και στην περίπτωση του μήκους, θα έχουμε:
ΙV. Αλγεβρική Καμπύλη
Μπορούμε εύκολα να γράψουμε την εξίσωση της καμπύλης χωρίς ρητούς εκθέτες:
Επομένως, καταλήγουμε στην εξίσωση
που σημαίνει ότι η αστροειδής είναι αλγεβρική καμπύλη βαθμού 6.
Περισσότερες ιδιότητες της αστροειδούς καμπύλης (κυρίως αυτές που έχουν να κάνουν με ελλείψεις) μπορείτε να βρείτε στο άρθρο για τον ελλειψογράφο του Αρχιμήδη.
